百师联盟·2025届高三开学摸底联考 理数试题

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21.(1)X的所有可能取值为一1,0,1.P(X=-1)=(1-a)3,P(X=0)=a8+(1-a)(1-3),〔o,号)上存在唯一的使得：)-0，在（分+]上1）-0P(X=1)=a(1-3).因为当x∈(0，x1)时，t(x)<0,即f'(x)<0,当x∈(x1,1)时，所以X的分布列为t(x)>0,即f'(x)>0,当x∈(1，+c∞)时，t(x)<0,即f'(x)<0,所以f(x)存在唯一极小值点x1.X-101(3)依题意得，g(x)=x+xlnx,所以g(x)>m(x一1)为P(1-a)BaB+(1-a)(1-B)a(1-B)x十xlnx>m(x-1),因为x>1,所以m1,则'(x)=-lnx-2令l(x)=t十xlnx(x-1)2·即p+1-p:=4(p:一p:-1).又因为1-po=p1≠0，所以{p:+1一p:}(i=0,1,2,…,7)是公令s()=x-lnx-2(x>1).则'(x)=1-号=>0，所以比为4，首项为p1的等比数列.函数s(x)在(1，十∞)上单调递增.②由①可得因为s(3)=1-ln3<0,s(4)=2-ln4>0,所以方程s(.x)=0在p8-pg一p,十p,-p6十…十p1一pg十p(1,十∞)上存在唯一的实数根x,且xo∈(3,4)，则s(xo)==(ps-p)十（p?一p6)十…十(1-p)xo-lnxo-2-0,所以ln.xo-xo-2①.48-1当1xx。时，s(x)0,即'(x)0;当x>x0时，s(x)>0,=3p1.3印4)0新以丽数4)在1上单洞避减由于p=1,故一4-1'所以p=（p1一p3)十(p3一p2)十(p2一p)十(p1一p)在（x,十∞)上单调递增.所以1(x)n-l()-1+In)x。-144-13p,把①代人得，21)=1+0-2）=.∈（3,4)，x一11所以m0),则f(x)-xh(x),故x>0时，f(x)≤0台h(x)≤0，因为h(1)=0,Ax)≤0，所以h'1)=0,因为(x)-a,所以k1)=1-a=0,所以a=1.(2)证明：由(1)知f(x)=x十xln.x-x2,所以f'(x)=2+lnx-2.x,令t(x)=2+lnx-2z(x>0),则t'(.x)=1-2,当x∈(0,2)时()>0，(x)单调递猫：当x(日，+c∞)时.)<01(x)单调递减又1(e)<0(兮)>01(1)=0，所以在2022年伯乐马专题纠错卷·理数答案·第40页（共40页）

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