2024届衡水金卷先享题[信息卷](二)2理数(JJ·B)试题

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2田题意可得2Zx8,且x飞N+.…6分4/5z)=C-C=-1)(99-C…10分当：=50时，P)原得最大值最大值为是=品…12分【◇高三数学·参考答案第3页（共5页）理科◇】台=6.a=2,20.解：(1)由题意可得1c=2,解得…3分b=√2，c2=a2+,则双曲线C的标准方程为号-号-1.…4分(2)由题意可知直线1的斜率不为0，设直线l:x=my+2,A(x1,y),B(.x2y2),P(x,0),x=my十2，整理得(m2-1)y2+4my+2=0,Am2则n十为=m把为m…5分因为Pi=(一y),Pi=(x一%)，所以Pi·Pi=(一x)(2一x)十=(my+2-xo)(my2十2-x)+y1y2=(m2+1)yy2+m(2-xo)(y1+y2)+x号-4.xa十4.…7分将的+%=的名代人上式，4m得Pi.P弦=2mD_4m（2二）+店-4十4=-2》m-+4-2.m2-1nm2-1m2-1…9分若P才，P克为定值，则x号-2=x-4十2，解得o=1,…11分故存在点P(1,0),使得Pi·P克为定值-1.…12分21据，a6f-2afa话…2分a曲线y=f(x)在点(a,f(a)处的切线方程为y一a=上(x一a).…3分√a因为该切线过点(4,2)，所以2-后=(4一@)，解得4=4.…4分(2)因为f)=V2-a≤ae,所以a>0,且x>号两边方可得a2e2-2≥2x一a.…5分令函数g(m)=ae2r2-2x+a(x>2),g'(x)=2(ae2-2-1).令函数h(x)=a2e2-2-1,h'(x)=2a2e2-2>0,所以h(x)是增函数，令g(x)=2(a2e22-1)=0,得x=1-lna.…6分下面比较1一lna与号的大小，令函数ua)=1-lha一号ra)=-去2<0，ua)是减函数。因为u1-2>0,u2)-1h2<0,所以存在a∈(1.2.使得当a∈(0.a)时，ua)>0,即1-lha>分.当a∈[a+o)时，wa)≤0.即1-hna≤号8分【◇高三数学·参考答案第4页（共5页）理科◇】当a∈(0，ao)时，当x∈（号，l-lna)时，h(x<0,即g'(x)<0;当x∈(1-lna,十oo)时，h(x)>0,即g'(x)>0.所以g(x)在（号，1一lna)上单调递减，在(1一na,十∞）上单调递增.g(x)m=g(1-lna)=a2emt-2(1-lna)十a=2lna十a-l.…9分